不等間隔格子の二次精度差分

本ドキュメントでは, NumRu::Derivative で定義される threepoints_O2nd_deriv で用いる 不等間隔格子の二次精度差分についてまとめる. この差分は極端に不等間隔ではないデータに 対して二次精度の差分を与えるものである. 今, 関数$f(x)$を, 数列 $x_n (x_0, x_1, ..., x_{i}, ..., x_{n})$ 上に離散化する.

$$f_i \equiv f(x_i)$$ (1.1)

$$t \equiv (x_{i+1} - x_{i})$$ (1.2)

$$s \equiv (x_{i} - x_{i-1})$$ (1.3)

ここで, $s$と$t$はほぼ同じオーダーの値である場合を想定して議論を進める. ここで, $f(x)$を各格子点近傍にてテイラー展開する.

$$f(x_{i+1}) - f(x_{i}) = tf'(x_i) + \frac{t^2}{2}f''(x_i) + O(t^3)$$ (1.4)

$$f(x_{i-1}) - f(x_{i}) = -sf'(x_i) + \frac{s^2}{2}f''(x_i) + O(s^3)$$ (1.5)

ここで, $f'(x_i), f''(x_i)$はそれぞれ$x_i$における$f$の$x$に関する一階および二階の微分項, $O(t^3)$は$t^3$のオーダーの値を表す. 両式から$f''$の項を消去するために, $s^2\times$(1.4) - $t^2\times$(1.5) を計算すると,

$$s^2f_{i+1} + (t^2 -s^2)f_i - t^2f_{i-1} = (s^2 + st^2)f'(x_i) + s^2O(t^3) + t^2O(s^3)$$ (1.6)

となる. 上式を変形して

$$\frac{s^2f_{i+1} + (t^2 -s^2)f_i - t^2f_{i-1}}{st(s + t)} = f'(x_i) + \frac{O(s^2t^3) + O(t^2s^3)}{st(s + t)}$$ (1.7)

$$= O(t^2).$$ (1.8)

これより, 2次精度差分の公式は

$$f'(x_i) = \frac{s^2f_{i+1} + (t^2 -s^2)f_i - t^2f_{i-1}}{st(s + t)}$$ (1.9)

と書くことができる.